MPO - Raponament lògic / AEA1A1: Solucions exercicis

De wikiserver
La revisió el 15:22, 21 oct 2026 per Rsort (Discussió | contribucions) (→‎Equivalències)
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Proposicions i formalització

Exercici 1

Indica quines de les següents expressions són proposicions:

  • Finlandia pertany a la Unió Europea              És proposició
  • El famós Linus Torvalds                                 No és proposició
  • Catalunya té 5 provincies                               És proposició
  • La víbora té orelles                                        És proposició
  • Quants anys han transcorregut                      No és proposició
  • Visca la terra!                                                 No és proposició
  • La taronja és un mineral                                 És proposició
  • 2X + 1 = 3                                                      No és proposició
  • L'ànec és un mamifer                                     És proposició
  • 10 > -100                                                       És proposició

Exercici 2

Simbolitza les següents preposicions:

  • No vaig veure la pel·lícula, però vaig llegir la novel·la
p = vaig veure la pel·lícula
q = vaig llegir la novel·la
¬p ^ q
  • Ni vaig veure la pel·lícula ni vaig llegir la novel·la
p = vaig veure la pel·lícula
q = vaig llegir la novel·la
¬p ^ ¬q
  • No és cert que veiés la pel·lícula i llegís la novel·la
p = vaig veure la pel·lícula
q = vaig llegir la novel·la
¬(p ^ q)
  • Vaig veure la pel·lícula encara que no vaig llegir la novel·la
p = vaig veure la pel·lícula
q = vaig llegir la novel·la
p ^ ¬q
  • No m'agrada dormir ni matinar
p = m'agrada dormir
q = m'agrada matinar
¬p ^ ¬q
  • O tu estàs equivocat o és falsa la notícia que has llegit
p = tu estàs equivocat
q = la notícia que has llegit és falsa
p ⊻ q
  • Si no estiguessis boja, no hauries vingut aquí
p = estàs boja
q = has vingut aquí
¬p → ¬q
  • Plou i o bé neva o bufa el vent
p = plou
q = neva
r = bufa el vent
p ^ (q ˅ r)
  • O està plovent i nevant o està bufant el vent
p = plou
q = neva
r = bufa el vent
(p ^ q) ⊻ r
  • Si hi ha veritable democràcia, aleshores no hi ha detencions arbitràries ni altres violacions dels drets civils
p = hi ha verdadera democracia
q = hi ha detencions arbitràrie
r = hi hi violacions dels drets civils
p → (¬q ^ ¬r)
  • Robert farà el doctorat quan i només quan obtingui la llicenciatura
p = Robert farà el doctorat
q = Robert obtindrà la llicenciatura
p ↔ q

Exercici 3

Simbolitza:

  • Si p, entonces q:
p → q
  • No es el caso que p y q:
¬(p ˄ q)
  • p solamente si q y no-r:
p ↔ (q ˄ ¬r)
  • p o no-q:
p ˅ ¬q
  • Si p y q, entonces no-r o s:
(p ˄ q) → (¬r ˅ s)
  • Si p, entonces q, y si q, entonces p:
(p → q) ˄ (q → p)

Exercici 4

Formalitza les següents proposicons:

  • No es cierto que no me guste bailar.
p: me gusta bailar
¬(¬p)
  • Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción.
p: me gusta bailar
q: me gusta leer libros de ciencia ficción
p ˄ q
  • Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos.
p: los gatos de mi hermana sueltan pelo
q: me gusta acariciar los gatos
¬p → q
  • Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre.
p: ver un marciano con mis propios ojos
q: creer en los extraterrestres
p ↔ q
  • Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energúmeno.
p: salir a dar un paseo
q: estudiar como un energúmeno
p ⊻ q
  • Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico.
p: los elefantes vuelan
q: los elefantes tocan el acordeón
r: estar loco
s: internar en un psiquiátrico
(p ˅ q) → (r ˄ s)
  • Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar.
p: ir de vacaciones
q: no hacer nada
r: tener tiempo
s: ir a trabajar
(r ˄ ¬s) → (p ˅ q)


Exercici 5

Enllaça cada proposició amb la seva formalització:

p: plou
q: fa sol
1 Llueve y hace sol     5A     ¬ p A
2 Llueve y no hace sol     3B     p ∨ q B
3 Llueve o hace sol     1C     p ∧ q C
4 Si no llueve, hace sol     2D     p ∧¬ q D
5 No es cierto que llueva     6E     ¬ ¬ p E
6 No es cierto que no llueva     7F     q ↔ ¬ p F
7 Hace sol si y sólo si no llueve     4G     ¬ p → q G


Taules de veritat

Exercici 1

Confecciona les següents taules de veritat:

a. ¬p ˄ q
p   q ¬p   ^   q
V   V F     F    V
V   F F     F    F
F   V V     V    V
F   F V     F    F
b. ¬p ˄ ¬q
p   q ¬p   ^   ¬q
V   V F     F    F
V   F F     F    V
F   V V     F    F
F   F V     V    V
c. (p ˅ ¬q) ˅ p
p   q (p   ˅   ¬q)   ˅  p
V   V V    V     F    V   V
V   F V    V     V    V   V
F   V F    F     F    F   F
F   F F    V     V    V   F
d. (p → q) ˄ p
p   q (p   →   q)   ˄  p
V   V V    V     V    V   V
V   F V    F     F    F   V
F   V F    V     V    F   F
F   F F    V     F    F   F
e. (p ↔ q) ˄ ¬p
p   q (p   ↔   q)   ˄  ¬p
V   V V    V     V    F   F
V   F V    F     F    F   F
F   V F    F     V    F   V
F   F F    V     F    V   V
f. [¬(p → q) ˅ (p ↔ q)] ˄ [(¬p → q) ˅ ¬p]
p   q [¬(p   →   q)   ˅  (p   ↔   q)]   ˄   [(¬p   →   q)   ˅   ¬p)]
V   V  F  V    V    V   V    V    V   V     V      F       V    V   V     F
V   F  V  V    F    F   V    V    F   F     V      F       V    F   V     F
F   V  F  F    V    V   F    F    F   V     F      V       V    V   V     V
F   F  F  F    F    F   V    F    V   F     V      V       F    F   V     V

Exercici 2

Formalitza les següents proposicions i confecciona la seva taula de veritat:

O estás seguro y lo que dices es cierto o mientes como un bellaco
p = estar seguro.
q = decir la verdad.
r = mentir como un bellaco.
p   q   r (p   ^   q)   ⊻   r
V   V   V V    V    V    F    V
V   V   F V    V    V    V    F
V   F   V V    F    F    V    V
V   F   F V    F    F    F    F
F   V   V F    F    V    V    V
F   V   F F    F    V    F    F
F   F   V F    F    F    V    V
F   F   F F    F    F    F    F

Exercici 3

Confecciona les següents taules de veritat e indica si es tracta de tautologies, contradiccions o contingències (indeterminacions).

a. ¬p ˅ q
p   q ¬p   ˅   q
V   V F     V    V
V   F F     F    F
F   V V     V    V
F   F V     V    F
Contingència
b. (p ˄ q) → p
p   q (p   ˄   q)   →  p
V   V V    V    V    V   V
V   F V    F    F    V   V
F   V F    F    V    V   F
F   F F    F    F    V   F
Tautologia


c. p ↔ ¬p
p   p    ↔   ¬  p
V   V    F    F    V
F   F    F    V    F
Contradicció
d. (p ↔ ¬q) ˄ (p ˅ ¬q)
p   q (p   ↔   ¬   q)   ˄   (p   ˅   ¬   q)
V   V V     F     F    V   F   V   V   F    V
V   F V     V     V    F   V   V   V   V    F
F   V F     V     F    V   F   F   F   F    V
F   F F     F     V    F   F   F   V   V    F
Contingència
e. (p ↔ ¬q) ˅ (p ˅ ¬q)
p   q (p   ↔   ¬   q)   ˅   (p   ˅   ¬   q)
V   V V     F     F    V   V   V   V   F    V
V   F V     V     V    F   V   V   V   V    F
F   V F     V     F    V   V   F   F   F    V
F   F F     F     V    F   V   F   V   V    F
Tautologia
f. (¬p ˅ q) ↔ (p → q)
p   q (¬  p   ˅   q)   ↔   (p   →   q)
V   V F   V    V   V    V     V    V    V
V   F F   V    F   F    V     V    F    F
F   V V   F    V   V    V     F    V    V
F   F V   F    V   F    V     F    V    F
Tautologia


Equivalències

Exercici 1

Demostra mitjançant taules de veritat les següents equivalències:

a) p ∧ ¬p ≡ F
  p     ¬p   p  ∧  ¬p
  V     F      F   
  F     V      F   
b) p v ¬p ≡ V
  p     ¬p   p  v  ¬p
  V     F      V   
  F     V      V   
c) p ∧ p ≡ p
  p   p  ∧  p
  V      V   
  F      F   
d) p v p ≡ p
  p   p  v  p
  V      V   
  F      F   
e) p ∧ (p v q) ≡ p
  p     q   p  v  q p  ∧  (p  v  q)  
  V     V      V       V   
  V     F      V       V   
  F     V      V       F   
  F     F      F       F   

Exercici 2

Demostra, indicant en cada pas quina equivalència s'aplica, les següents equivalències:

a) (p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) ≡ (¬p ∨ q) ∧ (¬r ∨ s) 
1. (p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)

Implicació material a les dues implicacions {p ⇒ q ≡ ¬p v q}

2. (¬p ∨ q) ∧ (¬r ∨ s)
b) ¬(p ∨ (q ∧ r)) ≡ ¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)
1. ¬(p ∨ (q ∧ r))

Llei de De Morgan per a la disjunció {¬(p v  q) ≡ ¬p ∧  ¬q}

2. ¬p ∧ ¬(q ∧ r)

Llei de De Morgan per a la conjunció a ¬(q ∧ r)
-->
3. ¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)
c) (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) ≡ p
1. (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)

Distributivitat de la disjunció {p v (q ∧ r)  ≡ (p v q) ∧  (p v  r)}

2. p v (q ∧ ¬q)

Inversa de la conjunció {p ∧ ¬p ≡ F}

3. p v F 

Neutre de la disjunció  {p v F ≡ p}

4. p
d) ¬(p ⇒ q) ≡ p ∧ ¬q
1. ¬(p → q)

Implicació material {p ⇒ q ≡ ¬p v q}

2. ¬(¬p v q)

Llei de De Morgan per a la disjunció {¬(p v  q) ≡ ¬p ∧ ¬q}

3. ¬(¬p) ∧ ¬q

Doble negació  {¬¬p ≡ p}

4. p ∧ ¬q
e) p ∨ (¬p ∧ q) ≡ p ∨ q
1. p ∨ (¬p ∧ q)

Distributivitat de la disjunció {p v  (q ∧ r)  ≡ (p v q) ∧ (p v r)}

2. (p v ¬p) ∧ (p v q)

Inversa de la disjunció {p v ¬p ≡ V}

3. V ∧ (p v q)

Neutre de la conjunció {p ∧ V ≡ p}

4. p v q
f) (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) ≡ p ↔ q
1. (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q)

Distributivitat de la disjunció {p v  (q ∧ r)  ≡ (p v q) ∧ (p v r)}

2. [(¬p ∧ ¬q) ∨ p] ∧ [(¬p ∧ ¬q) ∨ q]

Distributivitat de la disjunció a cada part

3. [(¬p ∨ p) ∧ (¬q ∨ p)] ∧ [(¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ q)]

Inversa de la disjunció {p v ¬p ≡ V}

4. [V ∧ (¬q ∨ p)] ∧ [(¬p ∨ q) ∧ V]

Neutre de la conjunció {p ∧ V ≡ p}

5. (¬q ∨ p) ∧ (¬p ∨ q)

Implicació material {p ⇒ q ≡ ¬p v q}

6. q ⇒ p ∧ p ⇒ q

Commutativitat de la conjunció {p ∧ q ≡ q ∧ p}

7. p ⇒ q ∧ q ⇒ p

Definició d'equivalència material {p⇔q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)}

8. p⇔q
g) (p → q) ∨ (q ⇒ p) ≡ True
1. (p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p)

Implicació material {p ⇒ q ≡ ¬p v q}

2. (¬p v q) ∨ (¬q v p)

Associativitat de la disjunció {p v (q v r) ≡ (p v q) v r}

3. (¬p v p) ∨ (¬q v q)

Inversa de la disjunció {p v ¬p ≡ V}

4. V v V

5. True
h) (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) ≡ q ∨ ¬p
1. (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)

Associativitat de la disjunció {p v (q v r) ≡ (p v q) v r}

2. [(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q)] ∨ (¬p ∧ ¬q)

Distributivitat de la conjunció a la part [] {p ∧  (q ∨ r)  ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)}

3. [q ∧ (p ∨ ¬p)] ∨ (¬p ∧ ¬q)

Inversa de la disjunció {p v ¬p ≡ V}

4. (q ∧ V) ∨ (¬p ∧ ¬q) (V: True)

Neutre de la conjunció {p ∧ V ≡ p}

5. q ∨ (¬p ∧ ¬q) 

Distributivitat de la disjunció {p v  (q ∧ r)  ≡ (p v q) ∧ (p v r)}

6. (q v ¬p) ∧ (q v ¬q)

Inversa de la disjunció {p v ¬p ≡ V}

7. (q v ¬p) ∧ V (V: True)

Neutre de la conjunció {p ∧ V ≡ p}

8. q v ¬p
i) (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ q) ≡ q
1. (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ q)

Distributivitat de la conjunció {p ∧ (q ∨ r)  ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)} 

2. [(¬p ∨ q) ∧ p] ∨ [(¬p ∨ q) ∧ q]

Absorció de la conjunció en el segon terme {p ∧ (p ∨ q)  ≡ p

3. [(¬p ∨ q) ∧ p] ∨ q

Distributivitat de la disjunció al primer terme {p v  (q ∧ r)  ≡ (p v q) ∧ (p v r)}

4. [(p ∧ ¬p) ∨ (p ∧ q)] ∨ q

Inversa de la conjunció {p ∧ ¬p ≡ F}

5. [F ∨ (p ∧ q)] ∨ q

Neutre de la disjunció {p ∨ F ≡ p}

6. (p ∧ q) v q

Absorció de la disjunció {p ∨ (p ∧ q)  ≡ p

7. q
j) ¬(¬p ∨ q) ∧ (p ∨ q) ≡ p ∧ ¬q
1. ¬(¬p ∨ q) ∧ (p ∨ q)

Llei de De Morgan per a la disjunció {¬(p v q) ≡ ¬p ∧  ¬q}

2. (¬¬p ∧ ¬q) ∧ (p ∨ q)

Doble negació  {¬¬p ≡ p}

3. (p ∧ ¬q) ∧ (p ∨ q)

Distributivitat de la conjunció {p ∧ (q ∨ r)  ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)} 

4. (p ∧ ¬q ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q ∧ q)

Commutativitat de la conjunció  {p ∧ q ≡ q ∧ p} i Associativitat de la conjunció {p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q)∧ r}

5. [(p ∧ p) ∧ ¬q] ∨ [p ∧ (¬q ∧ q)] 

Idempotència de la conjunció {p ∧ p ≡ p} i Inversa de la conjunció {p ∧ ¬p ≡ F}

6. (p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ F)

Dominació de la conjunció {p ∧ F ≡ F}

7. (p ∧ ¬q) ∨ F)

Neutre de la disjunció {p ∨ F ≡ p}

8. p ∧ ¬q
k) p ∨ ¬(p ∧ q) ≡ True
1. p ∨ ¬(p ∧ q)

Llei de De Morgan per a la conjunció {¬(p ∧ q) ≡ ¬p v ¬q}

2. p v (¬p v ¬q)

Associativitat de la disjunció

3. (p v ¬p) v ¬q

Inversa de la disjunció {p v ¬p} ≡ V

4. V v ¬q (V: True)

Dominació de la disjunció {p v V ≡ V}

5 V (V: True)
l) (p ∧ q) ∨ [(p ∨ q)∧ ¬r] ∨ q ≡ q ∨ (p ∧ ¬r)
1. (p ∧ q) ∨ [(p ∨ q)∧ ¬r] ∨ q

Associativitat de la disjunció {p v (q v r) ≡ (p v q) v r}

2. [(p ∧ q) ∨ q] ∨ [(p ∨ q)∧ ¬r]

Absorció de la disjunció {p ∨ (p ∧ q)  ≡ p

3. q ∨ [(p ∨ q)∧ ¬r]  

Distributivitat de la conjunció {p ∧ (q ∨ r)  ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)} 

4. q ∨ [(p ∧ ¬r) ∨ (q ∧ ¬r)]

Associativitat de la disjunció

5. [q ∨ (q ∧ ¬r)] ∨ (p ∧ ¬r)

Absorció de la disjunció

6. q ∨ (p ∧ ¬r
m) (p ∨ q) ∨ ¬(¬p ∨ q ∨ r) ≡ p ∨ q
1. (p ∨ q) ∨ ¬(¬p ∨ q ∨ r)

Llei de De Morgan per a la disjunció {¬(p v q) ≡ ¬p ∧  ¬q}

2. (p ∨ q) ∨ (¬¬p ∧ ¬q ∧ ¬r)

Doble negació {¬¬p ≡ p}

3. (p ∨ q) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r)

Associativitat de la disjunció {p v (q v r) ≡ (p v q) v r}

4. [p ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r)] ∨ q

Absorció de la disjunció {p ∨ (p ∧ q)  ≡ p

5. p ∨ q
n) ¬[(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)] ≡ (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ ¬r)
1. ¬[(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)]

Llei de De Morgan per a la conjunció {¬(p ∧ q) ≡ ¬p v ¬q}

2. ¬(p ∨ q) ∨ ¬(¬p ∨ r)

Llei de De Morgan per a la disjunció {¬(p v q) ≡ ¬p ∧  ¬q} als dos termes

3. (¬p ∧ ¬q) ∨ (¬¬p ∧ ¬r)

Doble negació {¬¬p ≡ p}

4. (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ ¬r)
Obtingut de «http://wikiserver.infomerce.es/index.php?title=MPO_-_Raponament_lògic_/_AEA1A1:_Solucions_exercicis&oldid=19410»