Proposicions i formalització
Exercici 1
Indica quines de les següents expressions són proposicions:
- Finlandia pertany a la Unió Europea És proposició
- El famós Linus Torvalds No és proposició
- Catalunya té 5 provincies És proposició
- La víbora té orelles És proposició
- Quants anys han transcorregut No és proposició
- Visca la terra! No és proposició
- La taronja és un mineral És proposició
- 2X + 1 = 3 No és proposició
- L'ànec és un mamifer És proposició
Exercici 2
Simbolitza les següents preposicions:
- No vaig veure la pel·lícula, però vaig llegir la novel·la
- p = vaig veure la pel·lícula
- q = vaig llegir la novel·la
- ¬p ^ q
- Ni vaig veure la pel·lícula ni vaig llegir la novel·la
- p = vaig veure la pel·lícula
- q = vaig llegir la novel·la
- ¬p ^ ¬q
- No és cert que veiés la pel·lícula i llegís la novel·la
- p = vaig veure la pel·lícula
- q = vaig llegir la novel·la
- ¬(p ^ q)
- Vaig veure la pel·lícula encara que no vaig llegir la novel·la
- p = vaig veure la pel·lícula
- q = vaig llegir la novel·la
- p ^ ¬q
- No m'agrada dormir ni matinar
- p = m'agrada dormir
- q = m'agrada matinar
- ¬p ^ ¬q
- O tu estàs equivocat o és falsa la notícia que has llegit
- p = tu estàs equivocat
- q = la notícia que has llegit és falsa
- p ˅ q
- Si no estiguessis boja, no hauries vingut aquí
- p = estàs boja
- q = has vingut aquí
- ¬p → ¬q
- Plou i o bé neva o bufa el vent
- p = plou
- q = neva
- r = bufa el vent
- p ^ (q ˅ r)
- O està plovent i nevant o està bufant el vent
- p = plou
- q = neva
- r = bufa el vent
- (p ^ q) ˅ r
- Si hi ha veritable democràcia, aleshores no hi ha detencions arbitràries ni altres violacions dels drets civils
- p = hi ha verdadera democracia
- q = hi ha detencions arbitràrie
- r = hi hi violacions dels drets civils
- p → (¬q ^ ¬r)
- Robert farà el doctorat quan i només quan obtingui la llicenciatura
- p = Robert farà el doctorat
- q = Robert obtindrà la llicenciatura
- p ↔ q
- Si ve en tren o en cotxe arribarà abans de les sis.
- p = ve en tren
- q = ve en cotxe
- r = arribarà abans de les sis
- (p ˅ q) → r
- Si ve en tren arribarà abans de les sis. Si ve en cotxe arribarà abans de les sis. Per tant, si ve amb tren com si ve amb cotxe, arribarà abans de les sis.
- p → q, r → q |- (p ˅ r) → q
Exercici 3
Simbolitza:
- p → q
- ¬(p ˄ q)
- p ↔ (q ˄ ¬r)
- p ˅ ¬q
- Si p y q, entonces no-r o s:
- (p ˄ q) → (¬r ˅ s)
- Si p, entonces q, y si q, entonces p:
- (p → q) ˄ (q → p)
- Si p y q, entonces r. p. Luego si q, entonces r:
- (p ˄ q) → r, p |- q → r
- Si p y q, entonces r. Si r y s, entonces t. Luego si p y q y s, entonces t:
- (p ˄ q) → r, (r ˄ s) → t |- (p ˄ q ˄ s) → t
Exercici 4
Formalitza les següents proposicons:
- No es cierto que no me guste bailar.
- p: me gusta bailar
- ¬(¬p)
- Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción.
- p: me gusta bailar
- q: me gusta leer libros de ciencia ficción
- p ˄ q
- Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos.
- p: los gatos de mi hermana sueltan pelo
- q: me gusta acariciar los gatos
- ¬p → q
- Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre.
- p: ver un marciano con mis propios ojos
- q: creer en los extraterrestres
- p ↔ q
- Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energúmeno.
- p: salir a dar un paseo
- q: estudiar como un energúmeno
- p ˅ q
- Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico.
- p: los elefantes vuelan
- q: los elefantes tocan el acordeón
- r: estar loco
- s: internar en un psiquiátrico
- (p ˅ q) → (r ˄ s)
- Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar.
- p: ir de vacaciones
- q: no hacer nada
- r: tener tiempo
- s: ir a trabajar
- (r ˄ ¬s) → (p ˅ q)
Taules de veritat
Exercici 1
Confecciona les següents taules de veritat:
- a. ¬p ˄ q
| p q |
¬p ^ q
|
| V V |
F F V
|
| V F |
F F F
|
| F V |
V V V
|
| F F |
V F F
|
- b. ¬p ˄ ¬q
| p q |
¬p ^ ¬q
|
| V V |
F F F
|
| V F |
F F V
|
| F V |
V F F
|
| F F |
V V V
|
- c. (p ˅ ¬q) ˅ p
| p q |
(p ˅ ¬q) ˅ p
|
| 1 1 |
1 1 0 1 1
|
| 1 0 |
1 1 1 1 1
|
| 0 1 |
0 0 0 0 0
|
| 0 0 |
0 1 1 1 0
|
- d. (p → q) ˄ p
| p q |
(p → q) ˄ p
|
| 1 1 |
1 1 1 1 1
|
| 1 0 |
1 0 0 0 1
|
| 0 1 |
0 1 1 0 0
|
| 0 0 |
0 1 0 0 0
|
- e. (p ↔ q) ˄ ¬p
| p q |
(p ↔ q) ˄ ¬p
|
| 1 1 |
1 1 1 0 0
|
| 1 0 |
1 0 0 0 0
|
| 0 1 |
0 0 1 0 1
|
| 0 0 |
0 1 0 1 1
|
- f. [¬(p → q) ˅ (p ↔ q)] ˄ [(¬p → q) ˅ ¬p]
| p q |
[¬(p → q) ˅ (p ↔ q)] ˄ [(¬p → q) ˅ ¬p)]
|
| 1 1 |
0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0
|
| 1 0 |
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0
|
| 0 1 |
0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1
|
| 0 0 |
0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1
|
Exercici 2
Formalitza les següents proposicions i confecciona la seva taula de veritat:
- O estás seguro y lo que dices es cierto o mientes como un bellaco
- p = estar seguro.
- q = decir la verdad.
- r = mentir como un bellaco.
| p q r |
(p ^ q) v r
|
| 1 1 1 |
1 1 1 1 1
|
| 1 1 0 |
1 1 1 1 0
|
| 1 0 1 |
1 0 0 1 1
|
| 1 0 0 |
1 0 0 0 0
|
| 0 1 1 |
0 0 1 1 1
|
| 0 1 0 |
0 0 1 0 0
|
| 0 0 1 |
0 0 0 1 1
|
| 0 0 0 |
0 0 0 0 0
|
Exercici 3
Confecciona les següents taules de veritat e indica si es tracta de tautologies, contradiccions o contingències (indeterminacions).
- a. ¬p ˅ q
| p q |
¬p ˅ q
|
| 1 1 |
0 1 1
|
| 1 0 |
0 0 0
|
| 0 1 |
1 1 1
|
| 0 0 |
1 1 0
|
- Contingència
- b. (p ˄ q) → p
| p q |
(p ˄ q) → p
|
| 1 1 |
1 1 1 1 1
|
| 1 0 |
1 0 0 1 1
|
| 0 1 |
0 0 1 1 0
|
| 0 0 |
0 0 0 1 0
|
- Tautologia
- c. p ↔ ¬p
| p |
p ↔ ¬ p
|
| 1 |
1 0 0 1
|
| 0 |
1 0 1 0
|
- Contradicció
- d. (p ↔ ¬q) ˄ (p ˅ ¬q)
| p q |
(p ↔ ¬ q) ˄ (p ˅ ¬ q)
|
| 1 1 |
1 0 0 1 0 1 1 0 1
|
| 1 0 |
1 1 1 0 1 1 1 1 0
|
| 0 1 |
0 1 0 1 0 0 0 0 1
|
| 0 0 |
0 0 1 0 0 0 1 1 0
|
- Contingència
- e. (p ↔ ¬q) ˅ (p ˅ ¬q)
| p q |
(p ↔ ¬ q) ˅ (p ˅ ¬ q)
|
| 1 1 |
1 0 0 1 1 1 1 0 1
|
| 1 0 |
1 1 1 0 1 1 1 1 0
|
| 0 1 |
0 1 0 1 1 0 0 0 1
|
| 0 0 |
0 0 1 0 1 0 1 1 0
|
- Tautologia
- f. (¬p ˅ q) ↔ (p → q)
| p q |
(¬ p ˅ q) ↔ (p → q)
|
| 1 1 |
0 1 1 1 1 1 1 1
|
| 1 0 |
0 1 0 0 1 1 0 0
|
| 0 1 |
1 0 1 1 1 0 1 1
|
| 0 0 |
1 0 1 0 1 0 1 0
|
- Tautologia
Equivalències
Exercici 1
Demostra mitjançant taules de veritat les següents equivalències:
- a) p ∧ ¬p ≡ F
- b) p v ¬p ≡ V
- c) p ∧ p ≡ p
- d) p v p ≡ p
- e) p ∧ (p v q) ≡ p
| p |
q |
p v q |
p ∧ (p v q)
|
| V |
V |
V |
V
|
| V |
F |
V |
V
|
| F |
V |
V |
F
|
| F |
F |
F |
F
|
- f) p v (p ∧ q) ≡ p
| p |
q |
p ∧ q |
p v (p ∧ q)
|
| V |
V |
V |
V
|
| V |
F |
F |
V
|
| F |
V |
F |
F
|
| F |
F |
F |
F
|
- g) ¬¬p ≡ p
- h) ¬(p ∧ q) ≡ ¬p v ¬q
| p |
q |
p ∧ q |
¬(p ∧ q) |
¬p |
¬q |
¬p v ¬q
|
| V |
V |
V |
F |
F |
F |
F
|
| V |
F |
F |
V |
F |
V |
V
|
| F |
V |
F |
V |
V |
F |
V
|
| F |
F |
F |
V |
V |
V |
V
|
- i) ¬(p v q) ≡ ¬p ∧ ¬q
| p |
q |
p v q |
¬(p ∧ q) |
¬p |
¬q |
¬p ∧ ¬q
|
| V |
V |
V |
F |
F |
F |
F
|
| V |
F |
V |
F |
F |
V |
F
|
| F |
V |
V |
F |
V |
F |
F
|
| F |
F |
F |
V |
V |
V |
V
|
- j) p ∧ (q v r) ≡ (p ∧ q) v (p ∧ r)
| p |
q |
r |
q v r |
p ∧ (q v r) |
p ∧ q |
p ∧ r |
(p ∧ q) v (p ∧ r)
|
| V |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
V
|
| V |
V |
F |
V |
V |
V |
F |
V
|
| V |
F |
V |
V |
V |
F |
V |
V
|
| V |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
F
|
| F |
V |
V |
V |
F |
F |
F |
F
|
| F |
V |
F |
V |
F |
F |
F |
F
|
| F |
F |
V |
V |
F |
F |
F |
F
|
| F |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
F
|
- k) p v (q ∧ r) ≡ (p v q) ∧ (p v r)
| p |
q |
r |
q ∧ r |
p ∧ (q ∧ r) |
p v q |
p v r |
(p v q) ∧ (p v r)
|
| V |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
V
|
| V |
V |
F |
F |
V |
V |
V |
V
|
| V |
F |
V |
F |
V |
V |
V |
V
|
| V |
F |
F |
F |
V |
V |
V |
V
|
| F |
V |
V |
V |
V |
V |
V |
V
|
| F |
V |
F |
F |
F |
V |
F |
F
|
| F |
F |
V |
F |
F |
F |
V |
F
|
| F |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
F
|
- l) p ⇒ q ≡ ¬q ⇒ ¬p
| p |
q |
¬q |
¬p |
p ⇒ q |
¬q ⇒ ¬p
|
| V |
V |
F |
F |
V |
V
|
| V |
F |
V |
F |
F |
F
|
| F |
V |
F |
V |
V |
V
|
| F |
F |
V |
V |
V |
V
|
- m) p ⇒ q ≡ ¬p v q
| p |
q |
¬p |
p ⇒ q |
¬p v q
|
| V |
V |
F |
V |
V
|
| V |
F |
F |
F |
F
|
| F |
V |
V |
V |
V
|
| F |
F |
V |
V |
V
|
- n) p⇔q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
| p |
q |
p ⇒ q |
q ⇒ p |
(p ⇒ q) ∧ q ⇒ p) |
p ⇔ q
|
| V |
V |
V |
V |
V |
V
|
| V |
F |
F |
V |
F |
F
|
| F |
V |
V |
F |
F |
F
|
| F |
F |
V |
V |
V |
V
|
Exercici 2
Demostra, indicant en cada pas quina equivalència s'aplica, les següents equivalències:
- a) (p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) ≡ ¬p ∨ q ∧ ¬r ∨ s
1. (p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)
Implicació material a les dues implicacions {p ⇒ q ≡ ¬p v q}
2. ¬p ∨ q ∧ ¬r ∨ s
- b) ¬(p ∨ (q ∧ r)) ≡ ¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)
1. ¬(p ∨ (q ∧ r))
Llei de De Morgan per a la disjunció {¬(p v q) ≡ ¬p ∧ ¬q}
2. ¬p ∧ ¬(q ∧ r)
Llei de De Morgan per a la disjunció a ¬(q ∧ r)
3. ¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)
- c) (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) ≡ p
1. (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)
Distributivitat de la disjunció {p v (q ∧ r) ≡ (p v q) ∧ (p v r)}
2. p v (q ∧ ¬q)
Inversa de la conjunció {p ∧ ¬p ≡ F}
3. p v F
Neutre de la disjunció {p v F ≡ p}
4. p
- d) ¬(p ⇒ q) ≡ p ∧ ¬q
1. ¬(p → q)
Implicació material {p ⇒ q ≡ ¬p v q}
2. ¬(¬p v q)
Llei de De Morgan per a la disjunció {¬(p v q) ≡ ¬p ∧ ¬q}
3. ¬(¬p) ∧ ¬q
Doble negació {¬¬p ≡ p}
4. p ∧ ¬q
- e) p ∨ (¬p ∧ q) ≡ p ∨ q
1. p ∨ (¬p ∧ q)
Distributivitat de la disjunció {p v (q ∧ r) ≡ (p v q) ∧ (p v r)}
2. (p v ¬p) ∧ (p v q)
Inversa de la disjunció {p v ¬p ≡ V}
3. V ∧ (p v q)
Neutre de la conjunció {p ∧ V ≡ p}
4. p v q
- f) (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) ≡ p ↔ q
1. (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q)
Distributivitat de la disjunció {p v (q ∧ r) ≡ (p v q) ∧ (p v r)}
2. [(¬p ∧ ¬q) ∨ p] ∧ [(¬p ∧ ¬q) ∨ q]
Distributivitat de la disjunció a cada part
3. [(¬p ∨ p) ∧ (¬q ∨ p)] ∧ [(¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ q)]
Inversa de la disjunció {p v ¬p ≡ V}
4. [V ∧ (¬q ∨ p)] ∧ [(¬p ∨ q) ∧ V]
Neutre de la conjunció {p ∧ V ≡ p}
5. (¬q ∨ p) ∧ (¬p ∨ q)
Implicació material {p ⇒ q ≡ ¬p v q}
6. q ⇒ p ∧ p ⇒ q
Commutativitat de la conjunció {p ∧ q ≡ q ∧ p}
7. p ⇒ q ∧ q ⇒ p
Definició d'equivalència material {p⇔q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)}
8. p⇔q
- g) (p → q) ∨ (q ⇒ p) ≡ True
1. (p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p)
Implicació material {p ⇒ q ≡ ¬p v q}
2. (¬p v q) ∨ (¬q v p)
Associativitat de la disjunció {p v (q v r) ≡ (p v q) v r}
3. (¬p v p) ∨ (¬q v q)
Inversa de la disjunció {p v ¬p ≡ V}
4. V v V
5. True
- h) (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) ≡ q ∨ ¬p
1. (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)
Associativitat de la disjunció {p v (q v r) ≡ (p v q) v r}
2. [(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q)] ∨ (¬p ∧ ¬q)
Distributivitat de la conjunció a la part [] {p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)}
3. [q ∧ (p ∧ ¬p)] ∨ (¬p ∧ ¬q)
Inversa de la disjunció {p v ¬p ≡ V}
4. (q ∧ V) ∨ (¬p ∧ ¬q) (V: True)
Neutre de la conjunció {p ∧ V ≡ p}
5. q ∨ (¬p ∧ ¬q)
Distributivitat de la disjunció {p v (q ∧ r) ≡ (p v q) ∧ (p v r)}
6. (q v ¬p) ∧ (q v ¬q)
Inversa de la disjunció {p v ¬p ≡ V}
7. (q v ¬p) ∧ V (V: True)
Neutre de la conjunció {p ∧ V ≡ p}
8. q v ¬p
