MPO - Raponament lògic / AEA1A1: Solucions exercicis

De wikiserver
La revisió el 18:55, 11 nov 2025 per Rsort (Discussió | contribucions) (→‎Exercici 2)
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Proposicions i formalització

Exercici 1

Indica quines de les següents expressions són proposicions:

  • Finlandia pertany a la Unió Europea              És proposició
  • El famós Linus Torvalds                                 No és proposició
  • Catalunya té 5 provincies                               És proposició
  • La víbora té orelles                                        És proposició
  • Quants anys han transcorregut                      No és proposició
  • Visca la terra!                                                 No és proposició
  • La taronja és un mineral                                 És proposició
  • 2X + 1 = 3                                                      No és proposició
  • L'ànec és un mamifer                                     És proposició
  • 10 > -100                                                       És proposició

Exercici 2

Simbolitza les següents preposicions:

  • No vaig veure la pel·lícula, però vaig llegir la novel·la
p = vaig veure la pel·lícula
q = vaig llegir la novel·la
¬p ^ q

Exercici 3

Exercici 4

Taules de veritat

Exercici 1

Confecciona les següents taules de veritat:

a. ¬p ˄ q
p   q ¬p   ^   q
V   V F     F    V
V   F F     F    F
F   V V     V    V
F   F V     F    F
b. ¬p ˄ ¬q
p   q ¬p   ^   ¬q
V   V F     F    F
V   F F     F    V
F   V V     F    F
F   F V     V    V
c. (p ˅ ¬q) ˅ p
p   q (p   ˅   ¬q)   ˅  p
1   1 1    1     0    1   1
1   0 1    1     1    1   1
0   1 0    0     0    0   0
0   0 0    1     1    1   0
d. (p → q) ˄ p
p   q (p   →   q)   ˄  p
1   1 1    1     1    1   1
1   0 1    0     0    0   1
0   1 0    1     1    0   0
0   0 0    1     0    0   0
e. (p ↔ q) ˄ ¬p
p   q (p   ↔   q)   ˄  ¬p
1   1 1    1     1    0   0
1   0 1    0     0    0   0
0   1 0    0     1    0   1
0   0 0    1     0    1   1
f. [¬(p → q) ˅ (p ↔ q)] ˄ [(¬p → q) ˅ ¬p]
p   q [¬(p   →   q)   ˅  (p   ↔   q)]   ˄   [(¬p   →   q)   ˅   ¬p)]
1   1  0  1    1    1   1    1    1   1     1      0       1    1   1     0
1   0  1  1    0    0   1    1    0   0     1      0       1    0   1     0
0   1  0  0    1    1   0    0    0   1     0      1       1    1   1     1
0   0  0  0    1    0   1    0    1   0     1      1       0    0   1     1

Exercici 2

Formalitza les següents proposicions i confecciona la seva taula de veritat:

O estás seguro y lo que dices es cierto o mientes como un bellaco
p = estar seguro.
q = decir la verdad.
r = mentir como un bellaco.
p   q   r (p   ^   q)   v   r
1   1   1 1    1    1    1    1
1   1   0 1    1    1    1    0
1   0   1 1    0    0    1    1
1   0   0 1    0    0    0    0
0   1   1 0    0    1    1    1
0   1   0 0    0    1    0    0
0   0   1 0    0    0    1    1
0   0   0 0    0    0    0    0


Exercici 3

Confecciona les següents taules de veritat e indica si es tracta de tautologies, contradiccions o contingències (indeterminacions).

a. ¬p ˅ q
p   q ¬p   ˅   q
1   1 0     1    1
1   0 0     0    0
0   1 1     1    1
0   0 1     1    0
Contingència
b. (p ˄ q) → p
p   q (p   ˄   q)   →  p
1   1 1    1    1    1   1
1   0 1    0    0    1   1
0   1 0    0    1    1   0
0   0 0    0    0    1   0
Tautologia
c. p ↔ ¬p
p   p    ↔   ¬  p
1   1    0    0    1
0   1    0    1    0
Contradicció
d. (p ↔ ¬q) ˄ (p ˅ ¬q)
p   q (p   ↔   ¬   q)   ˄   (p   ˅   ¬   q)
1   1 1     0     0    1   0   1   1   0    1
1   0 1     1     1    0   1   1   1   1    0
0   1 0     1     0    1   0   0   0   0    1
0   0 0     0     1    0   0   0   1   1    0
Contingència
e. (p ↔ ¬q) ˅ (p ˅ ¬q)
p   q (p   ↔   ¬   q)   ˅   (p   ˅   ¬   q)
1   1 1     0     0    1   1   1   1   0    1
1   0 1     1     1    0   1   1   1   1    0
0   1 0     1     0    1   1   0   0   0    1
0   0 0     0     1    0   1   0   1   1    0
Tautologia
f. (¬p ˅ q) ↔ (p → q)
p   q (¬  p   ˅   q)   ↔   (p   →   q)
1   1 0   1    1   1    1     1    1    1
1   0 0   1    0   0    1     1    0    0
0   1 1   0    1   1    1     0    1    1
0   0 1   0    1   0    1     0    1    0
Tautologia


Equivalències

Exercici 1

Demostra mitjançant taules de veritat les següents equivalències:

a) p ∧ ¬p ≡ F
  p     ¬p   p  ∧  ¬p
  V     F      F   
  F     V      F   
b) p v ¬p ≡ V
  p     ¬p   p  v  ¬p
  V     F      V   
  F     V      V   
c) p ∧ p ≡ p
  p   p  ∧  ¬p
  V      V   
  F      F   
d) p v p ≡ p
  p   p  v  ¬p
  V      V   
  F      F   
e) p ∧ (p v q) ≡ p
  p     q   p  v  q p  ∧  (p  v  q)  
  V     V      V       V   
  V     F      V       V   
  F     V      V       F   
  F     F      F       F   
f) p v (p ∧ q) ≡ p
  p     q   p  ∧  q p  v  (p  ∧  q)  
  V     V      V       V   
  V     F      F       V   
  F     V      F       F   
  F     F      F       F   
g) ¬¬p ≡ p
  p     ¬p     ¬¬p  
  V     F      V   
  F     V      F   
h) ¬(p ∧ q) ≡ ¬p v ¬q
  p     q   p  ∧  q ¬(p  ∧  q)     ¬p     ¬q   ¬p  v  ¬q
  V     V      V       F       F      F       F   
  V     F      F       V       F      V       V   
  F     V      F       V       V      F       V   
  F     F      F       V       V      V       V   
i) ¬(p v q) ≡ ¬p ∧ ¬q
  p     q   p  v  q ¬(p  ∧  q)     ¬p     ¬q   ¬p  ∧  ¬q
  V     V      V       F       F      F       F   
  V     F      V       F       F      V       F   
  F     V      V       F       V      F       F   
  F     F      F       V       V      V       V   
j) p ∧ (q v r) ≡ (p ∧ q) v (p ∧ r)
  p     q     r   q  v  r p  ∧  (q  v  r)   p  ∧  q p  ∧  r (p  ∧  q)  v  (p  ∧  r)  
  V     V     V      V       V       V       V          V      
  V     V     F      V       V       V       F          V      
  V     F     V      V       V       F       V          V      
  V     F     F      F       F       F       F          F      
  F     V     V      V       F       F       F          F      
  F     V     F      V       F       F       F          F      
  F     F     V      V       F       F       F          F      
  F     F     F      F       F       F       F          F      
k) p v (q ∧ r) ≡ (p v q) ∧ (p v r)
  p     q     r   q  ∧  r p  ∧  (q  ∧  r)   p  v  q p  v  r (p  v  q)  ∧  (p  v  r)  
  V     V     V      V       V       V       V          V      
  V     V     F      F       V       V       V          V      
  V     F     V      F       V       V       V          V      
  V     F     F      F       V       V       V          V      
  F     V     V      V       V       V       V          V      
  F     V     F      F       F       V       F          F      
  F     F     V      F       F       F       V          F      
  F     F     F      F       F       F       F          F      
l) p ⇒ q ≡ ¬q ⇒ ¬p
  p     q     ¬q     ¬p   p  ⇒  q ¬q  ⇒  ¬p
  V     V     F      F       V       V   
  V     F     V      F       F       F   
  F     V     F      V       V       V   
  F     F     V      V       V       V   
m) p ⇒ q ≡ ¬p v q
  p     q     ¬p   p  ⇒  q ¬p  v  q
  V     V     F       V       V   
  V     F     F       F       F   
  F     V     V       V       V   
  F     F     V       V       V   
n) p⇔q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
  p     q   p  ⇒  q q  ⇒  p (p  ⇒  q)  ∧  q  ⇒  p) p  ⇔  q
  V     V      V       V       V       V   
  V     F      F       V       F       F   
  F     V      V       F       F       F   
  F     F      V       V       V       V   

Exercici 2

Demostra, indicant en cada pas quina equivalència s'aplica, les següents equivalències:

a) (p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) ≡ ¬p ∨ q ∧ ¬r ∨ s 
1. (p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s)

Implicació material a les dues implicacions {p ⇒ q ≡ ¬p v q}

2. ¬p ∨ q ∧ ¬r ∨ s
b) ¬(p ∨ (q ∧ r)) ≡ ¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)
1. ¬(p ∨ (q ∧ r))

Llei de De Morgan per a la disjunció {¬(p v  q) ≡ ¬p ∧  ¬q}

2. ¬p ∧ ¬(q ∧ r)

Llei de De Morgan per a la conjunció a ¬(q ∧ r)

3. ¬p ∧ (¬q ∨ ¬r)
c) (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) ≡ p
1. (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)

Distributivitat de la disjunció {p v (q ∧ r)  ≡ (p v q) ∧  (p v  r)}

2. p v (q ∧ ¬q)

Inversa de la conjunció {p ∧ ¬p ≡ F}

3. p v F 

Neutre de la disjunció  {p v F ≡ p}

4. p
d) ¬(p ⇒ q) ≡ p ∧ ¬q
1. ¬(p → q)

Implicació material {p ⇒ q ≡ ¬p v q}

2. ¬(¬p v q)

Llei de De Morgan per a la disjunció {¬(p v  q) ≡ ¬p ∧ ¬q}

3. ¬(¬p) ∧ ¬q

Doble negació  {¬¬p ≡ p}

4. p ∧ ¬q
e) p ∨ (¬p ∧ q) ≡ p ∨ q
1. p ∨ (¬p ∧ q)

Distributivitat de la disjunció {p v  (q ∧ r)  ≡ (p v q) ∧ (p v r)}

2. (p v ¬p) ∧ (p v q)

Inversa de la disjunció {p v ¬p ≡ V}

3. V ∧ (p v q)

Neutre de la conjunció {p ∧ V ≡ p}

4. p v q
f) (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) ≡ p ↔ q
1. (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q)

Distributivitat de la disjunció {p v  (q ∧ r)  ≡ (p v q) ∧ (p v r)}

2. [(¬p ∧ ¬q) ∨ p] ∧ [(¬p ∧ ¬q) ∨ q]

Distributivitat de la disjunció a cada part

3. [(¬p ∨ p) ∧ (¬q ∨ p)] ∧ [(¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ q)]

Inversa de la disjunció {p v ¬p ≡ V}

4. [V ∧ (¬q ∨ p)] ∧ [(¬p ∨ q) ∧ V]

Neutre de la conjunció {p ∧ V ≡ p}

5. (¬q ∨ p) ∧ (¬p ∨ q)

Implicació material {p ⇒ q ≡ ¬p v q}

6. q ⇒ p ∧ p ⇒ q

Commutativitat de la conjunció {p ∧ q ≡ q ∧ p}

7. p ⇒ q ∧ q ⇒ p

Definició d'equivalència material {p⇔q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)}

8. p⇔q
g) (p → q) ∨ (q ⇒ p) ≡ True
1. (p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p)

Implicació material {p ⇒ q ≡ ¬p v q}

2. (¬p v q) ∨ (¬q v p)

Associativitat de la disjunció {p v (q v r) ≡ (p v q) v r}

3. (¬p v p) ∨ (¬q v q)

Inversa de la disjunció {p v ¬p ≡ V}

4. V v V

5. True
h) (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) ≡ q ∨ ¬p
1. (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)

Associativitat de la disjunció {p v (q v r) ≡ (p v q) v r}

2. [(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q)] ∨ (¬p ∧ ¬q)

Distributivitat de la conjunció a la part [] {p ∧  (q ∨ r)  ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)}

3. [q ∧ (p ∧ ¬p)] ∨ (¬p ∧ ¬q)

Inversa de la disjunció {p v ¬p ≡ V}

4. (q ∧ V) ∨ (¬p ∧ ¬q) (V: True)

Neutre de la conjunció {p ∧ V ≡ p}

5. q ∨ (¬p ∧ ¬q) 

Distributivitat de la disjunció {p v  (q ∧ r)  ≡ (p v q) ∧ (p v r)}

6. (q v ¬p) ∧ (q v ¬q)

Inversa de la disjunció {p v ¬p ≡ V}

7. (q v ¬p) ∧ V (V: True)

Neutre de la conjunció {p ∧ V ≡ p}

8. q v ¬p
i) (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ q) ≡ q
1. (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ q)

Distributivitat de la conjunció {p ∧ (q ∨ r)  ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)} 

2. [(¬p ∨ q) ∧ p] ∨ [(¬p ∨ q) ∧ q]

Absorció de la conjunció en el segon terme {p ∧ (p ∨ q)  ≡ p

3. [(¬p ∨ q) ∧ p] ∨ q

Distributivitat de la disjunció al primer terme {p v  (q ∧ r)  ≡ (p v q) ∧ (p v r)}

4. [(p ∧ ¬p) ∨ (p ∧ q)] ∨ q

Inversa de la conjunció {p ∧ ¬p ≡ F}

5. [F ∨ (p ∧ q)] ∨ q

Neutre de la disjunció {p ∨ F ≡ p}

6. (p ∧ q) v q

Absorció de la disjunció {p ∨ (p ∧ q)  ≡ p

7. q
j) ¬(¬p ∨ q) ∧ (p ∨ q) ≡ p ∧ ¬q
1. ¬(¬p ∨ q) ∧ (p ∨ q)

Llei de De Morgan per a la disjunció {¬(p v q) ≡ ¬p ∧  ¬q}

2. (¬¬p ∧ ¬q) ∧ (p ∨ q)

Doble negació  {¬¬p ≡ p}

3. (p ∧ ¬q) ∧ (p ∨ q)

Distributivitat de la conjunció {p ∧ (q ∨ r)  ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)} 

4. (p ∧ ¬q ∧ p) ∨ (p ∧ ¬q ∧ q)

Commutativitat de la conjunció  {p ∧ q ≡ q ∧ p} i Associativitat de la conjunció {p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q)∧ r}

5. [(p ∧ p) ∧ ¬q] ∨ [p ∧ (¬q ∧ q)] 

Idempotència de la conjunció {p ∧ p ≡ p} i Inversa de la conjunció {p ∧ ¬p ≡ F}

6. (p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ F)

Dominació de la conjunció {p ∧ F ≡ F}

7. (p ∧ ¬q) ∨ F)

Neutre de la disjunció {p ∨ F ≡ p}

8. p ∧ ¬q
k) p ∨ ¬(p ∧ q) ≡ True
1. p ∨ ¬(p ∧ q)

Llei de De Morgan per a la conjunció {¬(p ∧ q) ≡ ¬p v ¬q}

2. p v (¬p v ¬q)

Associativitat de la disjunció

3. (p v ¬p) v ¬q

Inversa de la disjunció {p v ¬p} ≡ V

4. V v ¬q (V: True)

Dominació de la disjunció {p v V ≡ V}

5 V (V: True)
l) (p ∧ q) ∨ [(p ∨ q)∧ ¬r] ∨ q ≡ q ∨ (p ∧ ¬r)
1. (p ∧ q) ∨ [(p ∨ q)∧ ¬r] ∨ q

Associativitat de la disjunció {p v (q v r) ≡ (p v q) v r}

2. [(p ∧ q) ∨ q] ∨ [(p ∨ q)∧ ¬r]

Absorció de la disjunció {p ∨ (p ∧ q)  ≡ p

3. q ∨ [(p ∨ q)∧ ¬r]  

Distributivitat de la conjunció {p ∧ (q ∨ r)  ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)} 

4. q ∨ [(p ∧ ¬r) ∨ (q ∧ ¬r)]

Associativitat de la disjunció

5. [q ∨ (q ∧ ¬r)] ∨ (p ∧ ¬r)

Absorció de la disjunció

6. q ∨ (p ∧ ¬r
m) (p ∨ q) ∨ ¬(¬p ∨ q ∨ r) ≡ p ∨ q
1. (p ∨ q) ∨ ¬(¬p ∨ q ∨ r)

Llei de De Morgan per a la disjunció {¬(p v q) ≡ ¬p ∧  ¬q}

2. (p ∨ q) ∨ (¬¬p ∧ ¬q ∧ ¬r)

Doble negació {¬¬p ≡ p}

3. (p ∨ q) ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r)

Associativitat de la disjunció {p v (q v r) ≡ (p v q) v r}

4. [p ∨ (p ∧ ¬q ∧ ¬r)] ∨ q

Absorció de la disjunció {p ∨ (p ∧ q)  ≡ p

5. p ∨ q
n) ¬[(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)] ≡ (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ ¬r)
1. ¬[(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ r)]

Llei de De Morgan per a la conjunció {¬(p ∧ q) ≡ ¬p v ¬q}

2. ¬(p ∨ q) ∨ ¬(¬p ∨ r)

Llei de De Morgan per a la disjunció {¬(p v q) ≡ ¬p ∧  ¬q} als dos termes

3. (¬p ∧ ¬q) ∨ (¬¬p ∧ ¬r)

Doble negació {¬¬p ≡ p}

4. (¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ ¬r)

Exercici 3

Simplifica, indicant en cada pas quina equivalència s'aplica, les següents fórmules proposicionals:

a) q ∨ ¬[¬(p ∧ q) → ¬q]
1. q ∨ ¬[¬(p ∧ q) → ¬q]

Implicació material {p ⇒ q ≡ ¬p v q}

2. q ∨ ¬[¬¬(p ∧ q) v ¬q]

Doble negació {¬¬p ≡ p}

3. q ∨ ¬[(p ∧ q) v ¬q]

Llei de De Morgan per a la disjunció {¬(p v q) ≡ ¬p ∧  ¬q}

4. q ∨ [¬(p ∧ q) ∧ ¬¬q]

Doble negació {¬¬p ≡ p}

5. q ∨ [¬(p ∧ q) ∧ q]

Llei de De Morgan per a la conjunció {¬(p ∧ q) ≡ ¬p v ¬q}

6. q ∨ [(¬p ∨ ¬q) ∧ q]

Distributivitat de la conjunció {p ∧ (q ∨ r)  ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)} 

7. q ∨ [(¬p ∧ q) ∨ (¬q ∧ q)]

Inversa de la conjunció {p ∧ ¬p ≡ F}

8. q ∨ [(¬p ∧ q) ∨ F]

Neutre de la disjunció {p ∨ F ≡ p}

9. q ∨ (¬p ∧ q)

Absorció de la disjunció {p ∨ (p ∧ q)  ≡ p

10. q
b) [¬(p ∨ q) ∨ (p ∨ ¬r)] → [r ∧ (r ∨ ¬t)]
1. [¬(p ∨ q) ∨ (p ∨ ¬r)] → [r ∧ (r ∨ ¬t)]

Absorció de la conjunció en el segon terme {p ∧ (p ∨ q)  ≡ p

2. [¬(p ∨ q) ∨ (p ∨ ¬r)] → r 

Llei de De Morgan per a la disjunció {¬(p v q) ≡ ¬p ∧  ¬q}

3. [(¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∨ ¬r)] → r

Distributivitat de la disjunció {p v  (q ∧ r)  ≡ (p v q) ∧ (p v r)}

4. [(¬p ∨ (p ∨ ¬r) ∧ (¬q ∨ (p ∨ ¬r)) → r

Associativitat de la disjunció {p v (q v r) ≡ (p v q) v r}

5. [((¬p ∨ p) ∨ ¬r) ∧ (( ¬q ∨ p) ∨ ¬r)] → r

Inversa de la disjunció {p v ¬p} ≡ V

6. [(V ∨ ¬r) ∧ (( ¬q ∨ p) ∨ ¬r)] → r

Dominació de la disjunció {p v V ≡ V}

7. [V ∧ (( ¬q ∨ p) ∨ ¬r)] → r

Neutre de la conjunció {p ∧ V ≡ p}

8. ((¬q ∨ p) ∨ ¬r) → r

Implicació material {p ⇒ q ≡ ¬p v q}

9. ¬((¬q ∨ p) ∨ ¬r) ∨ r

Llei de De Morgan per a la disjunció {¬(p v q) ≡ ¬p ∧  ¬q}

10. (¬(¬q ∨ p) ∧ ¬¬r) ∨ r

Llei de De Morgan per a la disjunció {¬(p v q) ≡ ¬p ∧  ¬q}

11. (¬¬q ∧ ¬p) ∧ ¬¬r) ∨ r

Doble negació {¬¬p ≡ p}

12. ((q ∧ ¬p) ∧ r) ∨ r

Absorció de la disjunció {p ∨ (p ∧ q)  ≡ p

13. r
c) [q ∧ (q → ¬p)] → ¬(p ∧ q)
1. [q ∧ (q → ¬p)] → ¬(p ∧ q)

Implicació material {p ⇒ q ≡ ¬p v q}

2. [q ∧ (¬q ∨ ¬p)] → ¬(p ∧ q)

Distributivitat de la conjunció {p ∧ (q ∨ r)  ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)} 

3. [(q ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p)] → ¬(p ∧ q)

Inversa de la conjunció {p ∧ ¬p ≡ F}

4. [F ∨ (q ∧ ¬p)] → ¬(p ∧ q)

Neutre de la disjunció {p ∨ F ≡ p}

5. (q ∧ ¬p) → ¬(p ∧ q)

Llei de De Morgan per a la conjunció {¬(p ∧ q) ≡ ¬p v ¬q}

6. (q ∧ ¬p) → (¬p ∨ ¬q)

Implicació material {p ⇒ q ≡ ¬p v q}

7. ¬(q ∧ ¬p) ∨ (¬p ∨ ¬q)

Llei de De Morgan per a la conjunció {¬(p ∧ q) ≡ ¬p v ¬q}

8. (¬q ∨ p) ∨ (¬p ∨ ¬q)

Associativitat de la disjunció {p v (q v r) ≡ (p v q) v r} i Commutativitat de la disjunció {p v q ≡ q v p}

9. (¬q ∨ ¬q) ∨ (p ∨ ¬p)

Idempotència de la disjunció {p ∨ p ≡ p} 

10. ¬q ∨ (p ∨ ¬p)

Inversa de la disjunció {p ∨ ¬p ≡ V}

11. ¬q ∨ V

Dominació de la disjunció {p v V ≡ V}

12. V (Tautologia)
Obtingut de «http://wikiserver.infomerce.es/index.php?title=MPO_-_Raponament_lògic_/_AEA1A1:_Solucions_exercicis&oldid=19114»